¿Debo incluir una palabra de estación (kigo) aunque ya el haiku incluya el nombre directo de la estación (por ejemplo, primavera)?

No. Si el haiku ya contiene el nombre de una de las estaciones del año, no es obligatorio incluir además una palabra de estación (kigo). Pero se considera más virtuoso un haiku que en vez de mencionar el nombre directo de la estación, mencione una palabra de estación (kigo).